平均數(shù)

1、①定義：一般的，如果有n個(gè)數(shù)x1 x2 x3 … xn， 則：

= (x1+x2+…+xn)÷n

②當(dāng)一組數(shù)據(jù)x1 x2 x3 … xn 各個(gè)數(shù)值較大時(shí)，可將數(shù)據(jù)同時(shí)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某��?shù)a ，得到：x1/=x1-a 、x1/=x2-a … xn= xn/-a 則 x拔 = x拔 / + a

常數(shù)a通常取接近于這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(約略估計(jì))的整數(shù)

③加權(quán)平均數(shù)：如果在n個(gè)數(shù)中，x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)fk次，…… xk出現(xiàn)fn次(f1+f2+…+fk=n )則

=(x1 f1 + x2 f2 + x3 f3 +… +xk fk )÷n

2、幾個(gè)概念：

①總體：考察對(duì)象的全體

②個(gè)體：每一個(gè)考察對(duì)象

③樣本：從整體中抽取的一部分個(gè)體叫總體的一個(gè)樣本

④樣本容量：樣本中個(gè)體得數(shù)目

⑤總體平均數(shù)：總體中所有個(gè)體的平均數(shù)

⑥樣本平均數(shù)：樣本中所有個(gè)體的平均數(shù)

例1：初三全年級(jí)4個(gè)班數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)平均成績(jī)分別是 x拔1 x拔2 x拔3 x拔4 則全年級(jí)平均成績(jī)是( x拔1 + x拔2 + x拔3 + x拔4 )÷4 這種算法不一定正確

⑴當(dāng)各班人數(shù)相同時(shí)算式成立

⑵當(dāng)各班人數(shù)不同時(shí)算式不成立

3、概念：

⑴眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

理解：注意出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)和出現(xiàn)次數(shù)最多次數(shù)兩種說(shuō)法的不同

⑵中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

⑶對(duì)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的理解：

①眾數(shù)說(shuō)明了該數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多;中位數(shù)說(shuō)明了該組數(shù)據(jù)以中位數(shù)為點(diǎn)將數(shù)據(jù)劃分為數(shù)據(jù)各占一半的兩部分。平均數(shù)反應(yīng)了改組數(shù)據(jù)的平均值。

4、中位數(shù)的找法：

給我們一組數(shù)組，將該數(shù)組由小到大排列，設(shè)數(shù)組的個(gè)數(shù)為n，

1、當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n÷2得一小數(shù)，用進(jìn)一法取整數(shù)f，則，第f個(gè)數(shù)就是該數(shù)組的中位數(shù)。

2，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n÷2得一整數(shù)m，第m和m+1個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是該數(shù)組的中位數(shù)。

3、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的平均趨勢(shì)，其中，又以平均數(shù)應(yīng)用最為廣泛

例1、判斷題：

⑴只要一組數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)字變動(dòng)，那么平均數(shù)就一定會(huì)跟著變動(dòng)(答案：對(duì))

⑵平均數(shù)一定有現(xiàn)實(shí)意義(答案：錯(cuò))

⑶在一組數(shù)據(jù)中加入它的平均數(shù)，則新數(shù)據(jù)組中平均數(shù)不變(答案：對(duì))

5、方差：

⑴引入方差的目的：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，除需要了解它們的一般水平外，還常常需要了解它們的波動(dòng)大小(即偏離平均數(shù)的大小)

⑵概念：設(shè)在一組數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是(x1- x拔)2 、(x2- x拔)2、…、(xn- x拔)2。那么，我們用它們的平均數(shù)來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)的大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差

即：S2=[(x1-x拔 )2 + (x2-x拔 )2 + … + (xn- x拔)2]/n

⑶意義：一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大

⑷計(jì)算方差的兩個(gè)變形公式

⑴ S2=[(x12 + x22 + … + xn2 ) - n x拔2]/n

⑵若x1/=x1-a 、x1/=x2-a … xn/ = xn -a ( 其中, x1、x2、…、xn是原已知的n個(gè)數(shù),a是接近這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的一個(gè)常數(shù))則

S2=[(x1/2 + x2/2 + … + xn/2 ) - n x拔/2]/n

6、標(biāo)準(zhǔn)差:

⑴概念:方差的算術(shù)平方根叫這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差

⑵意義: 標(biāo)準(zhǔn)差也是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的重要的量,標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大,反之亦然。

7、方差、標(biāo)準(zhǔn)差綜合概括：

一般地，若一組數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn 的平均數(shù)為x拔 ，方差為S2，標(biāo)準(zhǔn)差為S ，則：

⑴數(shù)組：x1 +a x2+a … xn +a的平均數(shù)為 x拔+a ，方差和標(biāo)準(zhǔn)差不變

⑵數(shù)組：kx1 kx2 … kxn 的平均數(shù)為 kx拔 ，方差變?yōu)閗2S2，標(biāo)準(zhǔn)差為kS

⑶數(shù)組：k x1 +a kx2+ a …kxn+a的平均數(shù)為kx拔 +a，方差為k2S2，標(biāo)準(zhǔn)差為Ks

例1：對(duì)一組數(shù)：-2、-1、x、1、2，若x為不大于10的非負(fù)數(shù)，方差為整數(shù)，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差

答案：根據(jù)S2=[(x12+x22 + …+xn2 )-n 2]/n 、 =x/5 、x=0或x=5 ∴S2=(10+4x2/5)/5 …

8、頻率分布

⑴組距：指每個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離

分組數(shù)=(最大值-最小值)/組距

⑵頻數(shù)：把數(shù)據(jù)總數(shù)分成若干小組，落在各個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫頻數(shù)

⑶頻率：每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫這一小組的頻率

9、畫頻率分布直方圖

⑴橫半軸：各組組距

縱半軸：頻率與組距的比。即 頻率/組距

⑵小長(zhǎng)方形的高=頻率/組距=頻數(shù)/(數(shù)據(jù)總數(shù)×組距)

∵(1/數(shù)據(jù)總數(shù)×組距)為常數(shù)

∴小長(zhǎng)方形的高與頻數(shù)成正比

⑶在頻率分布直方圖中,由于各小長(zhǎng)方形的面積等于響應(yīng)各組的頻率、而各組頻率的和等于1,因此, 各小長(zhǎng)方形面積的和等于1

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