構(gòu)造輔助線的常用方法

1.關(guān)于角平分線的輔助線

當(dāng)題目的條件中出現(xiàn)角平分線時(shí)，要想到根據(jù)角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線。

角平分線具有兩條性質(zhì)：

①角平分線具有對(duì)稱性;

②角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

關(guān)于角平分線常用的輔助線方法：

(1)截取構(gòu)全等

如下左圖所示，OC是∠AOB的角平分線，D為OC上一點(diǎn)，F(xiàn)為OB上一點(diǎn)，若在OA上取一點(diǎn)E，使得OE=OF，并連接DE，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。

例：

如上右圖所示，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。

提示：

在BC上取一點(diǎn)F使得BF=BA，連結(jié)EF。

(2)角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等

利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。

如下左圖所示，過(guò)∠AOB的平分線OC上一點(diǎn)D向角兩邊OA、OB作垂線，垂足為E、F，連接DE、DF。則有：DE=DF，△OED≌△OFD。

例：如上右圖所示，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC, CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180

(3)作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形

如下左圖所示，從角的一邊OB上的一點(diǎn)E作角平分線OC的垂線EF，使之與角的另一邊OA相交，則截得一個(gè)等腰三角形(△OEF)，垂足為底邊上的中點(diǎn)D，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。

如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交，從而得到一個(gè)等腰三角形，可總結(jié)為：“延分垂，等腰歸”。

例：

如上右圖所示，已知∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中點(diǎn)。

求證：

DH=(AB-AC)提示：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問(wèn)題可證。

(4)作平行線構(gòu)造等腰三角形

分為以下兩種情況：

①如下左圖所示，過(guò)角平分線OC上的一點(diǎn)E作角的一邊OA的平行線DE，從而構(gòu)造等腰三角形ODE。

②如下右圖所示，通過(guò)角一邊OB上的點(diǎn)D作角平分線OC的平行線DH與另外一邊AO的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，從而構(gòu)造等腰三角形ODH。

2.由線段和差想到的輔助線

遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：

①截長(zhǎng)：

在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條;

②補(bǔ)短：

將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。

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